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エネルギーと時間の不確定性

原 康夫 漁師量子の不思議 に、おもしろいのがあったので書いておきます。

エネルギーと時間の不確定性をアバウトに導出。

光子のエネルギーを測定する場合。

Δt とΔE をどう考えるのかというと、Δt の時間内に測ったエネルギーの不確定性がΔE であるということです。
時間 Δt を短くすれば ΔE は大きくなるし、Δt を小さくすれば、ΔE は小さくなる…。


さ、光のエネルギーを測定するというのは、光の振動数を測るということです。

光の振動の回数をカウントする!のです。

観測時間をΔt として、Δt が10秒だろうと、100秒だろうと、0.1 秒で測定しようと、不確定性はその測定で、波1個分であろうと考えます。測定時間がどれだけであろうと、カウントをするという観測の不確定性は、長い時間観測するからつかれると観測精度が悪くなって間違いが多くなる、というはずはなく、観測それ自体の性質として、まぁ観測者が人であるとして、最大で波一個分くらいずれる、そんな感じで考えてもいいんじゃないかと。

で、Δt秒 測って、波個分、(つまりν個のうちの一個) 数え違いがある、と、いうことは、一秒間に 1/Δt (個分)の振動数の誤差(=Δν)があると考えられます。つまり、Δν~1/Δt 。10秒測ったなら、1秒あたり 1/10 個だし、0.1秒 なら 1/0.1個。で、つまりこれ、Δν が 1/10、1/0.1 であるということです。

Δν~1/Δt
プランク定数h をかけて、
=>hΔν~h/Δt
E=hνなのだから、ΔE=hΔν(エネルギーの不確定性は振動数の「カウント」の不確定性!)
=>ΔE~h/Δt

よって晴れて、ΔEΔt ~ h (理論的な議論では、正確には h/2π = ℏ です)

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