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運動量保存の法則

■ 質点1の運動量をm1×v1(以下m1v1), 質点2の運動量をm2v2 としたとき、二つが衝突した場合を考えると、全運動量 m1v1+m2v2 は保存する。簡単に、質点2が質点1にたいして衝突することを想定すればよい。

質点2〇 質点1●

〇(2)----->●(1)

力(-F)<---〇衝突!●--->力(F)

衝突の際、質点1は質点2から 力 F を受け、同時に質点2は質点1から 力 -F を受ける。 (作用反作用の法則)

衝突の短い時間の間、力は同じ大きさ F で、その時間をΔt とする。そして、力積という量 FΔt を考える。質点1に対しては、
F= m1a = m1 dv1/dt であるから、FΔt = m1 dv1/dt Δt = m1 Δv1 となる(※)。同様に、-FΔt = m2 Δv2

Δv1, Δv2 は速度の増分

m1 Δv1 + m2 Δv2 = 0 であり、これを積分すれば、m1v1 + m2v2 = const となるが、より分かりやすく説明すると、以下のようになる。

衝突後の質点1、質点2の速度を v1', v2' とする。

v1' = v1 + Δv1, v2' = v2 + Δv2 なのだから、

m1v1' = m1(v1+Δv1) …①
m2v2' = m2(v2+Δv2) …②

①、② より、衝突後の全運動量 m1v1' + m2v2' を計算すると、
m1v1' + m2v2' = m1v1 + m2v2 + m1Δv1 + m2Δv2 となるが、m1Δv1 + m2Δv2 = 0 であったから、結局、
m1v1' + m2v2' = m1v1 + m2v2 となる。

※ dv/dt = Δv/Δt だから、dv/dt Δt = Δv
モノに力を加える場合、質量 m がわかっていて、物体に働く力の大きさ F と、力を加える時間 Δt ががわかれば、FΔt が計算でき、mΔv = FΔt から、Δv = FΔt / m となるので、速度の増加量 Δv が計算できる。(力積と運動量)

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